
解:(1)将A(4,12)代入双曲线

中,得12=

,则k=48;
(2)由(1)得双曲线解析式为

,
设P(m,n),∴

,即mn=48,
当

时,即

,可设m=z,n=4z,
∴z•4z=48,解得

,
∴

,

,
∴P(

,

),
当

时,同理可求得P(

,

);

(3)在Rt△OP
1B
1中,设OB
1=a
1,P
1B
1=b
1,OP
1=c
1,
则P
1(a
1,b
1),由(2)得a
1b
1=48,
在Rt△OP
2B
2中,设OB
2=a
2,P
2B
2=b
2,OP
2=c
2,
则P
2(a
2,b
2),由(2)得a
2b
2=48,
∵


∴(a
1+b
1+c
1)•r
1=(a
2+b
2+c
2)•r
2即l
1•r
1=l
2•r
2,故

又∵

=2,∴

=2,即得:

=

.
分析:(1)直接把A的坐标代入解析式中就可以确定k的值;
(2)设P(m,n),根据函数解析式和Rt△OPB两直角边的比值可以列出方程,解方程可以求出m,n,也就求出了点P的坐标;
(3)根据最下图此题首先应该知道一个结论:

(a+b+c)•r=

ab,利用这个结论可以得到

,这样就可以求出

的值了.
点评:此题主要考查了利用反比例函数的图象和性质解题,也利用了三角形的内切圆的知识,有一定综合性.