题目内容

如图，在直角坐标系中，O为原点，A（4，12）为双曲线 $数学公式$ （x＞0）上的一点．
（1）求k的值；
（2）过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为 $数学公式$ ，试求点P的坐标；
（3）分别过双曲线上的两点P₁、P₂，作P₁B₁⊥x轴于B₁，P₂B₂⊥x轴于B₂，连接OP₁、OP₂．设Rt△OP₁B₁、Rt△OP₂B₂的周长分别为l₁、l₂，内切圆的半径分别为r₁、r₂，若 $数学公式$ ，试求 $数学公式$ 的值．

解：（1）将A（4，12）代入双曲线 $\text{[math]}$ 中，得12= $\text{[math]}$ ，则k=48；

（2）由（1）得双曲线解析式为 $\text{[math]}$ ，
设P（m，n），∴ $\text{[math]}$ ，即mn=48，
当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ ，可设m=z，n=4z，
∴z•4z=48，解得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
当 $\text{[math]}$ 时，同理可求得P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）在Rt△OP₁B₁中，设OB₁=a₁，P₁B₁=b₁，OP₁=c₁，
则P₁（a₁，b₁），由（2）得a₁b₁=48，
在Rt△OP₂B₂中，设OB₂=a₂，P₂B₂=b₂，OP₂=c₂，
则P₂（a₂，b₂），由（2）得a₂b₂=48，
∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴（a₁+b₁+c₁）•r₁=（a₂+b₂+c₂）•r₂
即l₁•r₁=l₂•r₂，故 $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ =2，∴ $\text{[math]}$ =2，即得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）直接把A的坐标代入解析式中就可以确定k的值；
（2）设P（m，n），根据函数解析式和Rt△OPB两直角边的比值可以列出方程，解方程可以求出m，n，也就求出了点P的坐标；
（3）根据最下图此题首先应该知道一个结论： $\text{[math]}$ （a+b+c）•r= $\text{[math]}$ ab，利用这个结论可以得到 $\text{[math]}$ ，这样就可以求出 $\text{[math]}$ 的值了．
点评：此题主要考查了利用反比例函数的图象和性质解题，也利用了三角形的内切圆的知识，有一定综合性．