Question

【题目】将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.

（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角 ，此时等腰直角三角尺记为 ， 交AC于点M， 交BC于点N，试判断 的值是否随着 的变化而变化？如果不变，请求出 的值；反之，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=AD=BD= AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°
（2）解：不变化．
∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，
，
∴△DPM∽△DCN，
∴ ，
∵ =tan∠ACD=tan30°= ，
∴ 的值不随着α的变化而变化，是定值
【解析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°的值，于是可得结论。