Question

【题目】如图(1) ，折叠平行四边形，使得分别落在边上的点，为折痕

(1)若，证明:平行四边形是菱形;

(2)若 ，求的大小;

(3)如图(2) ，以为邻边作平行四边形，若，求的大小

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）30°；（3）45°.

【解析】

（1）利用面积法解决问题即可．

（2）分别求出∠BAD，∠BAB′，∠DAD′即可解决问题．

（3）如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．想办法证明E，H，G，C四点共圆，可得∠EGC＝∠EHC＝45°．

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，

∴S平行四边形ABCD＝BCAE＝CDAF，

∵AE＝AF，

∴BC＝CD，

∴平行四边形是菱形；

（2）解：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C＝∠BAD＝110°，

∵AB∥CD，

∴∠C+∠B＝180°，

∴∠B＝∠D＝70°，

∵AE⊥BC，AF⊥CD．

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

∴∠BAE＝∠DAF＝20°，

由翻折变换的性质可知：∠BAB′＝2∠BAE＝40°，∠DAD′＝2∠DAF＝40°，

∴∠B′AD′＝110°﹣80°＝30°．

（3）解：如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．

∵EA＝EC，∠AEC＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∵∠AEC+∠AFC＝180°，

∴A，B，C，F四点共圆，

∴∠AFE＝∠ACE＝45°，

∵四边形AEGF是平行四边形，

∴AF∥EG，AE＝FG，

∴∠AFE＝∠FEG＝45°，

∴EH＝AE＝FG，EH∥FG，

∴四边形EHGF是平行四边形，

∴EF∥HG，

∴∠FEG＝∠EGH＝45°

∵EC＝AE＝EH，∠CEH＝90°，

∴∠ECH＝∠EHC＝45°，

∴∠ECH＝∠EGH，

∴E，H，G，C四点共圆，∠EGC＝∠EHC＝45°．