Question

如图1，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线y=

k

x

相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求实数a，b，k的值；
（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．

Answer 1

分析：（1）根据点A的坐标，易求得k的值，进而可确定双曲线的解析式；可根据双曲线的解析式设出点B的坐标，根据A、B的坐标，可得到直线AB的解析式，进而可得到此直线与y轴交点（设为M）坐标，以OM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高，即可表示出△BOA的面积，已知此面积为3，即可求得点B的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式，即可得到a、b、k的值．
（2）易求得B（-2，-2），C（-4，-4），若设抛物线与x轴负半轴的交点为D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于两个三角形无法发生直接联系，可用旋转的方法来作辅助线；
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°，此时B₁（B点的对应点）位于OC的中点位置上，可延长OA至E₁，使得OE=2OA₁，那么根据三角形中位线定理即可得到B₁A₁∥CE，那么E1就是符合条件的点E，A₁的坐标易求得，即可得到点E₁的坐标；
②参照①的方法，可以OC为对称轴，作△B₁OA₁的对称图形△B₁OA₂，然后按照①的思路延长OA₂至E₂，即可求得点E₂的坐标．

解答：解：（1）∵反比例函数经过A（1，4），
∵k=1×4=4，即y=

4

x

；
设B（m，

4

m

），已知A（1，4），可求得
直线AB：y=-

4

m

x+4+

4

m

；
∵S_△BOA=

1

2

×（4+

4

m

）×（1-m）=3，
∴2m²+3m-2=0，
即m=-2（正值舍去）；
∴B（-2，-2）．
由于抛物线经过A、B两点，则有：

a+b=4 4a-2b=-2

，
解得

a=1 b=3

；
∴y=x²+3x．
故a=1，b=3，k=4．

（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；
∵直线AC∥x轴，且A（1，4），
∴C（-4，4）；
已求得B（-2，-2），则有：
∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；
①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B₁OA₁，作AM⊥x轴于M，作A₁N⊥x轴于N．
∵A的坐标是（1，4），即AM=4，OM=1，
∵∠AOM+∠NOA₁=90°，∠OAM+∠AOM=90°
∴∠OAM=∠NOA₁，
又∵OA=OA₁，∠AMO=∠A₁NO
∴△AOM≌△OA₁N，
∴A₁N=OM=1，ON=AM=4
∴A₁的坐标是（4，-1），
此时B₁是OC的中点，延长OA₁至E₁，使得OE=2OA₁，
则△COE₁∽△B₁OA₁∽△BOA；
则E₁（8，-2）；
②以OC所在直线为对称轴，作△B₁OA₁的对称图形△B₁OA₂，
延长OA₂至E₂，使得OE₂=2OA₂，
则△COE₂≌△COE₁∽△BOA；
易知A₂（1，-4），则E₂（2，-8）；
故存在两个符合条件的E点，且坐标为E₁（8，-2），E₂（2，-8）．

点评：此题考查了反比例函数、二次函数解析式的确定，图形面积的求法，相似三角形的判定等知识．难点在于（2）题的辅助线作法，能够发现∠BOC=90°，并能通过旋转作出相似三角形是解决问题的关键．