题目内容
（1）如图1，矩形ABCD，点C与坐标原点O重合，点A在x轴上，点B坐标为（3，| 3 |
（2）如图2，抛物线E：y=-
| 1 |
| 2 |
（3）如图3，点A、B、C分别为抛物线F：y=ax2+bx+c（a＜0）上的点，点B在对称轴右侧，点D在抛物线外，顺次连接A、B、C、D四点，所成四边形为矩形，且AC∥x轴，AD=2CD，求矩形ABCD的周长（用含a的式子表示）．
分析：（1）首先过点B作BH⊥AO于H，由三角函数的知识，即可求得∠AOB的度数，又由四边形ABCD是矩形，即可求得点A的坐标，又因为抛物线过原点，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）根据矩形与三角函数的知识，即可求得点A与C的坐标分别为（-
y，y）与（2y，y），又由抛物线过原点，求得c=0，将点A与C的坐标代入解析式即可求得b的值，则可求得抛物线的解析式；
（3）首先作辅助线：过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，作抛物线对称轴PQ交AC于点M，过B作BN⊥PQ于N，由三角函数的知识求得
=
=
，则可令AH=t，将BH，CH，AB，BC用t表示出来，代入函数解析式即可求得t的值，则问题得解．
（2）根据矩形与三角函数的知识，即可求得点A与C的坐标分别为（-
| 1 |
| 2 |
（3）首先作辅助线：过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，作抛物线对称轴PQ交AC于点M，过B作BN⊥PQ于N，由三角函数的知识求得
| AB |
| BC |
| CD |
| AD |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）过点B作BH⊥AO于H，
则OH=3，BH=
，
∴tan∠AOB=
，
∴∠AOB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABO=90°，
∴∠BAO=60°，
∴tan∠BAO=
=
，
∴AH=1，
∴A（4，0），
∵抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx，
则
，∴
，
∴此抛物线的解析式为：y=-
x2+
x；
（2）∵四边形AOCD是矩形，
∴∠AOC=∠D=90°，OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵AC∥x轴，
∴∠OEC=90°，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°，
∴∠AOE=∠ACO=∠CAD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=
，
∵AD=2CD，
∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=
，
∵点A与C的纵坐标相同，
∴可设点A的坐标为（-
y，y），点C的坐标为（2y，y），
∵抛物线过原点，
∴c=0，
∴抛物线解析式为：y=-
x2+bx，
将点A与C的坐标代入抛物线的解析式得：
，
解得：b=-
，
∴此抛物线的解析式为：y=-
x2-
x；
（3）过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，
作抛物线对称轴PQ交AC于点M，
过B作BN⊥PQ于N，
∴∠BHC=∠BHA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ABH=tan∠ACB=
=
=
，
令AH=t，则BH=2t，CH=4t，
AB=
t，BC=2
t，
设y=ax2+bx+c=a（x-h）2+k，PN=n，
则A（h+
t，k-n-2t），B（h+
t，k-n），
∴
，
∴t1=0（舍去），t2=-
，
∴AB=-
，BC=-
，
∴矩形ABCD的周长为-
．
解：（1）过点B作BH⊥AO于H，则OH=3，BH=
| 3 |
∴tan∠AOB=
| ||
| 3 |
∴∠AOB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABO=90°，
∴∠BAO=60°，
∴tan∠BAO=
| BH |
| AH |
| 3 |
∴AH=1，
∴A（4，0），
∵抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx，
则
|
|
∴此抛物线的解析式为：y=-
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
（2）∵四边形AOCD是矩形，
∴∠AOC=∠D=90°，OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵AC∥x轴，
∴∠OEC=90°，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°，
∴∠AOE=∠ACO=∠CAD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=
| CD |
| AD |
∵AD=2CD，
∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=
| 1 |
| 2 |
∵点A与C的纵坐标相同，
∴可设点A的坐标为（-
| 1 |
| 2 |
∵抛物线过原点，
∴c=0，
∴抛物线解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
将点A与C的坐标代入抛物线的解析式得：
|
解得：b=-
| 3 |
| 2 |
∴此抛物线的解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，
作抛物线对称轴PQ交AC于点M，
过B作BN⊥PQ于N，
∴∠BHC=∠BHA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ABH=tan∠ACB=
| AB |
| BC |
| CD |
| AD |
| 1 |
| 2 |
令AH=t，则BH=2t，CH=4t，
AB=
| 5 |
| 5 |
设y=ax2+bx+c=a（x-h）2+k，PN=n，
则A（h+
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
|
∴t1=0（舍去），t2=-
| 1 |
| 2a |
∴AB=-
| ||
| 2a |
| ||
| a |
∴矩形ABCD的周长为-
3
| ||
| a |
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，三角函数的应用以及求四边形的周长等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合与方程思想的应用．
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