Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过，两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点作直线轴交抛物线于另一点，点是直线下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点作轴于点，交于点，交于点，连接，过点作于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，连接，过点作于点（点在线段上），交于点，连接交于点，当时，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）根据S△ABC=S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式；

（3）如图2，由抛物线对称性可得D（2，-3），过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，OG⊥OS交KB于G，可得四边形OCKB为正方形，过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，可得四边形OHQI为矩形，可证△OBG≌△OCS，△OSR≌△OGR，得到tan∠QCT=tan∠TBK，设ST=TD=m，可得SK=2m+1，CS=2-2m，TK=m+1=BR，SR=3-m，RK=2-m，在Rt△SKR中，根据勾股定理求得m，可得tan∠PCD=，过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，得到P（t，-t-3），可得-t-3=t2-2t-3，求得t，再根据MN=d求解即可．

解：（1）∵直线y=x-3经过B、C两点，

∴B（3，0），C（0，-3），

∵y=x2+bx+c经过B、C两点，

∴，

解得，

故抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）如图1，y=x2-2x-3，

y=0时，x2-2x-3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），

∴OA=1，OB=OC=3，

∴∠ABC=45°，AC=，AB=4，

∵PE⊥x轴，

∴∠EMB=∠EBM=45°，

∵点P的横坐标为t，

∴EM=EB=3-t，

连接AM，

∵S△ABC=S△AMC+S△AMB

，

∴；

（3）如图2，

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴对称轴为x=1，

∴由抛物线对称性可得D（2，-3），

∴CD=2，

过点B作BK⊥CD交直线CD于点K，

∴四边形OCKB为正方形，

∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，

∴DK=1，

∵BQ⊥CP，

∴∠CQB=90°，

∵∠CQB+∠COB=180°，

∴O、C、Q、B四点共圆，

∴∠OQB=∠OCB=45°

过点O作OH⊥PC交PC延长线于点H，OR⊥BQ交BQ于点I交BK于点R，OG⊥OS交KB于G，

∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，

∴四边形OHQI为矩形，

∵∠OQI=45°，

∴∠OQI=∠IOQ=45°，

∵∠OCQ+∠OBQ=180°，

∴∠OBG=∠OCS，

∵OB=OC，∠BOG=∠COS，

∴△OBG≌△OCS，

∴QG=OS，∠GOB=∠SOC，

∴∠SOG=90°，

∴∠ROG=∠QOI=45°，

∵OR=OR，

∴△OSR≌△OGR，

∴SR=GR，

∴SR=CS+BR，

∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，

∴∠BOR=∠TBK，

∴tan∠BOR=tan∠TBK，

∴，

∴BR=TK，

∵∠CTQ=∠BTK，

∴∠QCT=∠TBK，

∴tan∠QCT=tan∠TBK，

设ST=TD=m，

∴SK=2m+1，CS=2-2m，TK=m+1=BR，SR=3-m，RK=2-m，

在Rt△SKR中，

∵SK2+RK2=SR2，

∴（2m+1）2+（2-m）2=（3-m）2，

解得m1=-2（舍去），m2=；

∴ST=TD=，TK=，

∴tan∠TBK=，

∴tan∠PCD=，

过点P作PE′⊥x轴于E′交CD于点F′，

∵CF′=OE′=t，

∴PF′=t，

∴PE′=t+3，

∴P（t，-t-3），

∴-t-3=t2-2t-3，

解得t1=0（舍去），t2=．

∴MN=d=．