题目内容
【题目】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”．利用该定义完成以下各题：
(1) 理解
填空：如图1，在四边形ABCD中，若 （填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；
（2）应用
证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）
(3) 拓展
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长.
【答案】(1)答案不唯一，如AB＝BC.（2）见解析;(3) BE=2或
或
或
.
【解析】整体分析：
(1)根据“准菱形”的定义解答，答案不唯一；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时即是正方形；(3)根据平移的性质和“准菱形”的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解.
解：(1)答案不唯一，如AB＝BC.
(2)已知：四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，对角线AC，BO交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
(3)由平移得BE=AD，DE=AB＝2，EF=BC＝1，DF=AC＝
.
由“准菱形”的定义有四种情况：
①如图1，当AD＝AB时，BE＝AD＝AB＝2.
②如图2，当AD＝DF时，BE＝AD＝DF＝
.
③如图3，当BF＝DF＝
时，延长FE交AB于点H，则FH⊥AB.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝
∠ABC＝45°.
∴∠BEH＝∠ABE＝45°.∴BE＝
BH.
设EH＝BH＝x，则FH＝x＋1，BE＝
x.
∵在Rt△BFH中，BH2＋FH2＝BF2，
∴x2＋(x＋1)2＝(
)2，
解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)，
∴BE＝
x＝
.
④如图4，当BF＝AB＝2时，与③)同理得：BH2＋FH2＝BF2.
设EH＝BH＝x，则x2＋(x＋1)2＝22，
解得x1＝
，x2＝
(不合题意，舍去)，
∴BE＝
x＝
.
综上所述，BE=2或
或
或
.
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