Question

如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA₁B₁．
（1）求以A为顶点，且经过点B₁的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．

Answer 1

分析：（1）先设抛物线的解析式为y=a（x-1）²，再将B₁点坐标代入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）令x=0即可求出D点坐标，再设出C点坐标C（m，m），代入抛物线解析式解方程即可求得C点坐标．

解答：解：（1）由题意可知，A（1，0），A₁（2，0），B₁（2，1），
设以A为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-1）²；
∵此抛物线过点B₁（2，1），
∴1=a（2-1）²，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²；

（2）∵当x=0时，y=（0-1）²=1，
∴D点坐标为（0，1），
由题意得OB在第一象限的角平分线上，
故可设C（m，m），
代入y=（x-1）²；得m=（m-1）²；
解得m₁=

3- 5

2

＜1，m₂=

3+ 5

2

＞1（舍去）．
故C点坐标为（

3- 5

2

，

3- 5

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．