Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD和CB的延长线上的点，且DE=BF，连结AE、AF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕着点

 

，顺时针旋转

 

度得到；
（3）若AD=8，S_△AEF：S_△CEF=5：3，求DE的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）由在正方形ABCD中，E、F分别是CD和CB的延长线上的点，且DE=BF，利用SAS，即可证得：△ADE≌△ABF；
（2）由（1）可得：△ABF可以由△ADE绕着点A，顺时针旋转90°得到；
（3）首先设DE=x，则EC=8-x，FC=8+x，AE²=8²+x²，易得△AFE是等腰直角三角形，由S_△AEF：S_△CEF=5：3，可得方程：

1

2

（8²+x²）：

1

2

（8+x）（8-x）=5：3，解此方程即可求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∴D=∴ABC=90°，
∴∠ABF=90°=∠D，
在△ABF和△ADE中，

AB=AD ∠ABF=∠D BF=DE

，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）由（1）可得：△ABF可以由△ADE绕着点A，顺时针旋转90°得到；
故答案为：A，90；

（3）解：设DE=x，则EC=8-x，FC=8+x，AE²=8²+x²，
∵△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∵S_△AEF：S_△CEF=5：3，
∴

1

2

（8²+x²）：

1

2

（8+x）（8-x）=5：3，
解得：x₁=4，x₂=-4（舍去），
∴DE=4．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．