题目内容
如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点G是这个三角形的重心,联结CG并延长,交边AB于点D.
(1)当BG=BC时,求证:∠CBG=2∠A;
(2)当AC=
BC时,求证:BG⊥CD.
(1)当BG=BC时,求证:∠CBG=2∠A;
(2)当AC=
2 |
考点:三角形的重心,勾股定理,勾股定理的逆定理
专题:
分析:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD=CD,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CDB=2∠A,然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠BCD,即可得解;
(2)设BC=1,利用勾股定理求出AB,再根据三角形的重心求出DG、CG,再利用勾股定理逆定理证明.
(2)设BC=1,利用勾股定理求出AB,再根据三角形的重心求出DG、CG,再利用勾股定理逆定理证明.
解答:(1)证明:∵点G是△ABC的重心,
∴CD是△ABC的中线,
∴AD=BD=CD,
在△ACD中,∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A,
在△BCD中,∠BCD=
(180°-∠CDB),
∵BG=BC,
∴∠BCD=
(180°-∠CBG),
∴∠CBG=∠CBD=2∠A,
即:∠CBG=2∠A;
(2)证明:设BC=1,则AC=
,
由勾股定理得,AB=
=
=
,
∴BD=CD=
,
∵点G是△ABC的重心,
∴DG=
CD=
,CG=
CD=
,
∵BC2-CG2=12-(
)2=
,
BD2-DG2=(
)2-(
)2=
,
∴BC2-CG2=BD2-DG2,
∴BG⊥CD.
∴CD是△ABC的中线,
∴AD=BD=CD,
在△ACD中,∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A,
在△BCD中,∠BCD=
1 |
2 |
∵BG=BC,
∴∠BCD=
1 |
2 |
∴∠CBG=∠CBD=2∠A,
即:∠CBG=2∠A;
(2)证明:设BC=1,则AC=
2 |
由勾股定理得,AB=
AC2+BC2 |
|
3 |
∴BD=CD=
| ||
2 |
∵点G是△ABC的重心,
∴DG=
2 |
1+2 |
| ||
3 |
1 |
1+2 |
| ||
6 |
∵BC2-CG2=12-(
| ||
3 |
2 |
3 |
BD2-DG2=(
| ||
2 |
| ||
6 |
2 |
3 |
∴BC2-CG2=BD2-DG2,
∴BG⊥CD.
点评:本题考查了三角形的重心,等腰三角形两底角相等的性质,勾股定理和勾股定理逆定理,三角形的重心的性质很多教材已经删去,可酌情使用.
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