Question

28、已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P．
（1）当△ABC为等边三角形（如图1）时，求证：EP=DP；
（2）当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°（如图2）时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等边三角形的性质可以得到相等的线段和相等的角，进而可以证明EP=DP；
（2）上题的结论仍然成立，并且具有类似的证明方法．

解答：证明：（1）∵△ABC为等边三角形，AD平分∠CAB，∴PD⊥BC，（1分）
同理，PE⊥AC，
作PH⊥AB于H，（1分）
∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，∴PE=PH（1分）
同理PD=PH
∴PD=PE（1分）

（2）EP=DP依然成立．（1分）
证明：不妨设∠CAB＜∠CBA
作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，
则点H在线段CE上，点M在线段BD上
∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P，∴PH=PQ=PM，（1分）
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°，（1分）
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=60°，（1分）
∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60⁰，
∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60⁰，
∴∠CEP=∠ADB，（1分）
在△PHE和△PMD中，∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM，
∴△PHE≌△PMD，（1分）
∴PE=PD
（不同方法请相应给分）

点评：本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是正确的利用等边三角形的性质．