题目内容

【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=5cmE为对角线BD上一动点,连接AECE,过E点作EFAE,交直线BC于点FE点从B点出发,沿BD方向以每秒1cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止.设BEF的面积为ycm2E点的运动时间为x秒.

1)点E在整个运动过程中,试说明总有:CE=EF

2)求yx之间关系的表达式,并写出x的取值范围.

【答案】1)见解析;(2y=

【解析】

1)分两种情况:点FBC的延长线上和在BC边上,在BC的延长线上时,作辅助线,构建三角形全等,证明AEM≌△EFNADE≌△CDESAS),可得AE=CE=EF;在BC边上时,同理可证明∠BAE=CFE,再证明BEA≌△BEC得∠BAE=BCE,所以∠CFE=FCE,故可得结论;

2)分两种情况:根据三角形的面积公式可得yx之间关系的函数表达式,根据勾股定理计算BD的长可得x的取值.

1)证明:如图1,过EMNAB,交ADM,交BCN

∵四边形ABCD是正方形,

ADBCABAD

MNADMNBC

∴∠AME=FNE=90°=NFE+FEN

AEEF

∴∠AEF=AEM+FEN=90°

∴∠AEM=NFE

∵∠DBC=45°,∠BNE=90°

BN=EN=AM

∴△AEM≌△EFNAAS),

AE=EF

∵四边形ABCD是正方形,

AD=CD,∠ADE=CDE

DE=DE

∴△ADE≌△CDESAS),

AE=CE

CE=EF

如图2,同理可证明∠BAE=CFE,

BD是正方形ABCD的对角线,

∴∠ABE=CBE=45°

AB=CBBE=BE

∴△BEA≌△BEC

∴∠BAE=BCE

∴∠CFE=FCE

CE=FE

因此,点E在整个运动过程中,总有:CE=EF

2)解:在RtBCD中,由勾股定理得:

由题意得:BE=2x

由(1)知:AE=EF=EC

分两种情况:

①当时,如图3

AB=MN=10

ME=FN=10-x

BF=FN-BN=10-x-x=10-2x

②当时,如图4,过EENBCN

EN=BN=x

FN=CN=10-x

BF=BC-2CN=10-210-x=2x-10

综上,yx之间关系的函数表达式为: y=

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