题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+2xa+c经过A(﹣4,0),B(0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长度为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.

【答案】
(1)

解:把A(﹣4,0),B(0,4)代入y=ax2+2xa+c得 ,解得

所以抛物线解析式为y=﹣ x2﹣x+4;


(2)

解:如图1,分别过P、F向y轴作垂线,垂足分别为A′、B′,过P作PN⊥x轴,垂足为N,

由直线DE的解析式为:y=x+5,则E(0,5),

∴OE=5,

∵∠PEO+∠OEF=90°,∠PEO+∠EPA′=90°,

∴∠EPA′=∠OEF,

∵PE=EF,∠EA′P=∠EB′F=90°,

∴△PEA′≌△EFB′,

∴PA′=EB′=﹣t,

则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣(﹣t)=5+t;


(3)

解:如图2,由直线DE的解析式为:y=x+5,

∵EH⊥ED,

∴直线EH的解析式为:y=﹣x+5,

∴FB′=A′E=5﹣(﹣ t2﹣t+4)= t2+t+1,

∴F( t2+t+1,5+t),

∴点H的横坐标为: t2+t+1,

y=﹣ t2﹣t﹣1+5=﹣ t2﹣t+4,

∴H( t2+t+1,﹣ t2﹣t+4),

连接PH交y轴于A′,

∴P与H的纵坐标相等,

∴PH∥x轴,

∴∠HPQ=∠PQD,∠PGH=∠QGD,

∵DG=GH,

∴△PGH≌△QGD,

∴PH=DQ,

∵A(﹣4,0),C(2,0),

∴Q(﹣1,0),

∵D(﹣5,0),

∴DQ=PH=4,

∴﹣t+ t2+t+1=4,

t=±

∵P在第二象限,

∴t<0,

∴t=﹣

∴F(4﹣ ,5﹣ ).


【解析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式;(2)如图1,作辅助线构建两个直角三角形,利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等,得PA′=EB′,则d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论,但要注意PA′=﹣t;(3)如图2,根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标,发现点P和点H的纵坐标相等,则PH与x轴平行,证明△PGH≌△QGD,得PH=DQ=4,列式可得t的值,求出t的值并取舍,计算出点F的坐标.也可以利用线段中点公式求出结论.

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