Question

如图，抛物线y=x²﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．

（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A（1，﹣4）；（2）△ABD是直角三角形；
（3）存在，P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1），P（2.1）

试题分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．
（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．
（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．
（1）∵顶点A的横坐标为，且顶点在y=x﹣5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）．
（2）将A（1，-4）代入y=x²-2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3，
∴y=x²-2x-3，
∴B（0，-3）
当y=0时，x²-2x-3=0，x₁=-1，x₂=3
∴C（-1，0），D（3，0），
∵BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，
∴BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
（3）由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，
又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．

设P（x₁，x₁-5），则G（1，x₁-5）
则PG=|1-x₁|，AG=|5-x₁-4|=|1-x₁|
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1-x₁）²+（1-x₁）²=18，x₁²-2x₁-8=0，x₁=-2或4
∴P（-2，-7）或P（4，-1），
存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理，在复杂的图形中找出基本的图形.