题目内容
已知，如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AG⊥EF于G，EG=2，FG=3，求AG的边长．小萍同学灵活运用旋转的知识，将图形进行旋转变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）把△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，请在图中画出旋转后的图形；
（2）判断H、B、E三点是否在一条直线上，若在，请证明：△AEF≌△AEH；若不在，请说明理由；
（3）设AG=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
分析：（1）延长EB到H，使BH=DF，然后连接AH即可；
（2）根据∠ABH=∠ABE=90°可以判断H、B、E三点共线，再根据旋转的性质可得△ABH和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=AF，全等三角形对应角相等可得∠BAH=∠DAF，再求出∠EAH=∠EAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEH全等即可；
（3）根据全等三角形对应边上的高相等可得AB=AG，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△AGE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EG=2，然后表示出EC，同理求出FC，然后在Rt△ECF中，利用勾股定理列出方程进行计算即可得解．
（2）根据∠ABH=∠ABE=90°可以判断H、B、E三点共线，再根据旋转的性质可得△ABH和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=AF，全等三角形对应角相等可得∠BAH=∠DAF，再求出∠EAH=∠EAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEH全等即可；
（3）根据全等三角形对应边上的高相等可得AB=AG，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△AGE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EG=2，然后表示出EC，同理求出FC，然后在Rt△ECF中，利用勾股定理列出方程进行计算即可得解．
解答：解：（1）如图所示；
（2）根据旋转的性质，∠ABH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，
∴H、B、E三点在一条直线上，
由旋转的性质可知△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAH=45°，
即∠EAH=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS）；
（3）∵△AEF≌△AEH，
∴AB=AG（全等三角形对应边上的高相等）
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE=EG=2，
同理DF=GF=3，
∴EC=x-2，FC=x-3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：（x-2）2+（x-3）2=52，
整理得：x2-5x-6=0，
解这个方程得：x1=6，x2=-1（不合题意，舍去），
∴x的值为6，
即AG=6．
（2）根据旋转的性质，∠ABH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，
∴H、B、E三点在一条直线上，
由旋转的性质可知△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAH=45°，
即∠EAH=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
在△AEF和△AEH中，
|
∴△AEF≌△AEH（SAS）；
（3）∵△AEF≌△AEH，
∴AB=AG（全等三角形对应边上的高相等）
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
|
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE=EG=2，
同理DF=GF=3，
∴EC=x-2，FC=x-3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：（x-2）2+（x-3）2=52，
整理得：x2-5x-6=0，
解这个方程得：x1=6，x2=-1（不合题意，舍去），
∴x的值为6，
即AG=6．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，解一元二次方程，准确识图并熟记旋转的性质是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
于E，交CD于F．
已知：如图，正方形纸片ABCD的边长是4，点M、N分别在两边AB和CD上（其中点N不与点C重合），沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处．