题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AO是△ABC的角平分线。以O为圆心，OC为半径作⊙O。
（1）（3分）求证：AB是⊙O的切线。
（2）（3分）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D， tanD＝
，求
的值。
（3）（4分）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长。
【答案】(1)详见解析；（2）
；（3）
.
【解析】
试题分析：（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得
= tanD＝；（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△B0F∽△BAC，得
，设BO=y ，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题.
试题解析：⑴证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90
∴OC=OF （2分）
∴AB是⊙O的切线 （3分）
⑵连接CE （1分）
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴ = tanD＝
⑶先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3)=(2x) ＋3 ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△B0F∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=
y=
∴AB=＋4=
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