题目内容
【题目】如图,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点 D 为 AB的中点.
(1)如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动.
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由;
②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使△BPD 与△CQP 全等?
(2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,则经过 后,点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的 边上相遇?(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
【答案】(1)①全等,理由见解析②1.5cm/s理由见解析(2)24s后在AC边相遇
【解析】
试题(1)①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长,根据SAS判定两个三角形全等.
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系,再根据路程=速度×时间公式,先求得点P运动的时间,再求得点Q的运动速度;
(2)根据题意结合图形分析发现:由于点Q的速度快,且在点P的前边,所以要想第一次相遇,则应该比点P多走等腰三角形的两个边长.
解:(1)①全等,理由如下:
∵t=1秒,
∴BP=CQ=1×1=1厘米,
∵AB=6cm,点D为AB的中点,
∴BD=3cm.
又∵PC=BC﹣BP,BC=4cm,
∴PC=4﹣1=3cm,
∴PC=BD.
又∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴△BPD≌△CQP;
②假设△BPD≌△CQP,
∵vP≠vQ,
∴BP≠CQ,
又∵△BPD≌△CQP,∠B=∠C,则BP=CP=2,BD=CQ=3,
∴点P,点Q运动的时间t==2秒,
∴vQ===1.5cm/s;
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,
由题意,得 1.5x=x+2×6,
解得x=24,
∴点P共运动了24s×1cm/s=24cm.
∵24=2×12,
∴点P、点Q在AC边上相遇,
∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇.