Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PD⊥AC交AC于点D，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB为邻边作?A′PBE，A′E交射线BC于点F，交射线PQ于点G．设?A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm²，点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，点A′与点C重合；
（2）用含t的代数式表示QF的长；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）请直接写出当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值．

Answer 1

（1）t=1（2）当0＜t≤时，QF=6﹣9t；当＜t＜2时，QF=9t﹣6．
当0＜t≤时，S=12t²；当＜t≤1时，S=﹣42t²+72t﹣24：当1＜t＜2时，S=6t²﹣24t+24．       
t的值为秒或秒．

解析试题分析：（1）易证△ADP∽△ACB，从而可得AD=4t，由折叠可得AA′=2AD=8t，由点A′与点C重合可得8t=8，从而可以求出t的值．
（2）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（3）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（4）可分①S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，如图7，②S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，两种情况进行讨论，就可解决问题．
试题解析：（1）如图1，

由题可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．
∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．
∵∠ADP=∠ACB=90°，
∴PD∥BC．
∴△ADP∽△ACB．
∴==．
∴==．
∴AD=4t，PD=3t．
∴AA′=2AD=8t．
当点A′与点C重合时，AA′=AC．
∴8t=8．
∴t=1．
（2）①当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，

则有CQ≤CF＜CB．
∵四边形A′PBE是平行四边形，
∴A′E∥BP．
∴△CA′F∽△CAB．
∴=．
∴=．
∴CF=6﹣6t．
∴3t≤6﹣6t＜6．
∴0＜t≤．
此时QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t．
②当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，

则有0≤CF＜CQ．
∵CF=6﹣6t，CQ=3t，
∴0≤6﹣6t＜3t．
∴＜t≤1．
此时QF=CQ﹣CF=3t﹣（6﹣6t）=9t﹣6．
③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，

则有AA′＞AC，且AP＜AB．
∴8t＞8，且5t＜10．
∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t﹣6．
此时QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6．
综上所述：当0＜t≤时，QF=6﹣9t；当＜t＜2时，QF=9t﹣6．
（3）①当0＜t≤时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，

则有A′M=CQ=3t．
∵==，==，
∴=，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴∠BQP=∠BCA．
∴PQ∥AC．
∵AP∥A′G．
∴四边形APGA′是平行四边形．
∴PG=AA′=8t．
∴S=S_△A′PG=PG•A′M
=×8t×3t=12t²．
②当＜t≤1时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图5，

则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．．
∴S=S_△A′PG﹣S_△GQF
=PG•A′M﹣QG•QF
=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6）
=﹣42t²+72t﹣24．
③当1＜t＜2时，如图6，

∵PQ∥AC，PA=PA′
∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．
∴∠BPQ=∠QPA′．
∵∠PQB=∠PQS=90°，
∴∠PBQ=∠PSQ．
∴PB=PS．
∴BQ=SQ．
∴SQ=6﹣3t．
∴S=S_△PQS=PQ•QS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t²﹣24t+24．
综上所述：当0＜t≤时，S=12t²；当＜t≤1时，S=﹣42t²+72t﹣24