题目内容
【题目】(新知学习)
如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”.
(简单运用)
(1)下列三个三角形,是智慧三角形的是______(填序号);
(2)如图,已知等边三角形,请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点
,使
为“智慧三角形”,并写出作法;
(深入探究)
(3)如图,在正方形中,点
是
的中点,
是
上一点,且
,试判断
是否为“智慧三角形”,并说明理由;
(灵活应用)
(4)如图,等边三角形边长
.若动点
以
的速度从点
出发,沿
的边
运动.若另一动点
以
的速度从点
出发,沿边
运动,两点同时出发,当点
首次回到点
时,两点同时停止运动.设运动时间为
,那么
为______
时,
为“智慧三角形”.
【答案】(1)①;(2)详见解析;(3)是“智慧三角形”,理由详见解析;(4)1,
,
,7
【解析】
(1)根据直角三角形斜边中线的性质即可判断;
(2)用刻度尺分别量取AC、BC的中点D、D',点D、D'即为所求;
(3)结论:△AEF是“智慧三角形”.利用勾股定理的逆定理证明△AEF是直角三角形即可;
(4)分当点P在线段AB上,点Q在线段BC上时和点P在线段BC上,点Q在线段AB上两种情形分别构建方程求解即可.
(1)因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,所以①是“智慧三角形”.
故答案为:①.
(2)用刻度尺分别量取AC、BC的中点D、D'.
点D、D'即为所求.
(3)结论:△AEF是“智慧三角形“.
理由如下:如图,设正方形的边长为4a.
∵E是BC的中点,∴BE=EC=2a.
∵CFCD,∴FC=a,DF=4a﹣a=3a,
在Rt△ABE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2
在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2
在Rt△ADF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,∴AE2+EF2=AF2,∴△AEF是直角三角形,∠AEF=90°.
∵直角三角形斜边AF上的中线等于AF的一半,∴△AEF为“智慧三角形”.
(4)如图3中,
①当点P在线段AB上,点Q在线段BC上时,若∠PQB=90°,则BP=2BQ,∴5﹣t=4t,
解得:t=1.
若∠BPQ=90°,则BQ=2PB,∴2t=2(5﹣t),∴t.
②当点P在线段BC上,点Q在线段AB上时,若∠PQB=90°,则BP=2BQ,∴t﹣5=2(15﹣2t),∴t=7,
若∠QPB=90°,则BQ=2PB,∴15﹣2t=2(t﹣5),∴t,
综上所述:满足条件的t的值为1或或
或7.
故答案为:1或或
或7.
