题目内容

【题目】(新知学习)

如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”.

(简单运用)

1)下列三个三角形,是智慧三角形的是______(填序号);

2)如图,已知等边三角形,请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点,使为“智慧三角形”,并写出作法;

(深入探究)

3)如图,在正方形中,点的中点,上一点,且,试判断是否为“智慧三角形”,并说明理由;

(灵活应用)

4)如图,等边三角形边长.若动点的速度从点出发,沿的边运动.若另一动点的速度从点出发,沿边运动,两点同时出发,当点首次回到点时,两点同时停止运动.设运动时间为,那么______时,为“智慧三角形”.

【答案】1)①;(2)详见解析;(3是“智慧三角形”,理由详见解析;(417

【解析】

1)根据直角三角形斜边中线的性质即可判断;

2)用刻度尺分别量取ACBC的中点DD',点DD'即为所求;

3)结论:△AEF是“智慧三角形”.利用勾股定理的逆定理证明△AEF是直角三角形即可;

4)分当点P在线段AB上,点Q在线段BC上时和点P在线段BC上,点Q在线段AB上两种情形分别构建方程求解即可.

1)因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半,所以①是“智慧三角形”.

故答案为:①.

2)用刻度尺分别量取ACBC的中点DD'

DD'即为所求.

3)结论:△AEF是“智慧三角形“.

理由如下:如图,设正方形的边长为4a

EBC的中点,∴BE=EC=2a

CFCD,∴FC=aDF=4aa=3a

RtABE中,AE2=4a2+2a2=20a2

RtECF中,EF2=2a2+a2=5a2

RtADF中,AF2=4a2+3a2=25a2,∴AE2+EF2=AF2,∴△AEF是直角三角形,∠AEF=90°.

∵直角三角形斜边AF上的中线等于AF的一半,∴△AEF为“智慧三角形”.

4)如图3中,

①当点P在线段AB上,点Q在线段BC上时,若∠PQB=90°,则BP=2BQ,∴5t=4t

解得:t=1

若∠BPQ=90°,则BQ=2PB,∴2t=25t),∴t

②当点P在线段BC上,点Q在线段AB上时,若∠PQB=90°,则BP=2BQ,∴t5=2152t),∴t=7

若∠QPB=90°,则BQ=2PB,∴152t=2t5),∴t

综上所述:满足条件的t的值为17

故答案为:17

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