题目内容
【题目】已知抛物线的对称轴是直线,与轴相交于,两点(点在点右侧),与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式和,两点的坐标;
(2)如图1,若点是抛物线上、两点之间的一个动点(不与、重合),是否存在点,使四边形的面积最大?若存在,求点的坐标及四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若点是抛物线上任意一点,过点作轴的平行线,交直线于点,当时,求点的坐标.
【答案】(1),点的坐标为,点的坐标为;(2)存在点,使四边形的面积最大;点的坐标为,四边形面积的最大值为32;(3)点的坐标为、、或.
【解析】
(1)由抛物线的对称轴是直线 x=3,解出 a的值,即可求得抛物线解析式,在
令其 y值为零,解一元二次方程即可求出 A和 B的坐标;
(2)易求点 C的坐标为(0,4),设直线 BC的解析式为 y=kx+b(k≠0),将 B(8,0),
C(0,4)代入 y=kx+b,解出 k和 b的值,即得直线 BC的解析式;设点 P的坐标为 ,过点 P作 PD∥y轴,交直线 BC于点 D,则点 D的坐标为 , 利用关系式 S四边形 PBOC=S△BOC+S△PBC得出关于 x的二次函数,从而求得其最值;
(3)设点 M的坐标为 则点 N的坐标为 , ,分当 0<m<8时,或当 m<0或 m> 8时来化简绝对值,从而求解.
(1)抛物线的对称轴是直线,
,解得,
抛物线的解析式为:.
当时,,解得,,
点的坐标为,点的坐标为.
答:抛物线的解析式为:;点的坐标为,点的坐标为.
(2)当时,,
点的坐标为.
设直线的解析式为,将,代入得
,解得,
直线的解析式为.
假设存在点,使四边形的面积最大,
设点的坐标为,如图所示,过点作轴,交直线于点,则点的坐标为,
则,
当时,四边形的面积最大,最大值是32
,
存在点,使得四边形的面积最大.
答:存在点,使四边形的面积最大;点的坐标为,四边形面积的最大值为32.
(3)设点的坐标为,则点的坐标为,
,
又,
,
当时,,解得,,
点的坐标为或;
当或时,,解得,,
点的坐标为或.
答:点的坐标为、、或.