题目内容

【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,BC=2,D是线段BC上的一个动点,点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N,则线段MN长的最小值是

【答案】
【解析】解:如图,连接AM,AN,AD,

∵点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N,

∴AM=AD=AN,

∴∠MAB=∠DAB,∠NAC=∠DAC,

∵∠BAC=45°,

∴∠MAN=90°,

∴△MAN是等腰直角三角形,

∴MN= AM,

∴当AM取最小值时,MN最小,

即AD取最小值时,MN最小,

∴当AD⊥BC时,AD最小,

过B作BH⊥AC于H,

∴AH=BH= AB,

∴CH=(1﹣ )AB,

∵BH2+CH2=BC2

∴( AB)2+[(1﹣ )AB]2=4,

∴AB2=4+2

∴AD=

∴MN=

∴线段MN长的最小值是

【考点精析】认真审题,首先需要了解轴对称-最短路线问题(已知起点结点,求最短路径;与确定起点相反,已知终点结点,求最短路径;已知起点和终点,求两结点之间的最短路径;求图中所有最短路径).

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