题目内容
【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,BC=2,D是线段BC上的一个动点,点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N,则线段MN长的最小值是 .
【答案】
【解析】解:如图,连接AM,AN,AD,
∵点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N,
∴AM=AD=AN,
∴∠MAB=∠DAB,∠NAC=∠DAC,
∵∠BAC=45°,
∴∠MAN=90°,
∴△MAN是等腰直角三角形,
∴MN= AM,
∴当AM取最小值时,MN最小,
即AD取最小值时,MN最小,
∴当AD⊥BC时,AD最小,
过B作BH⊥AC于H,
∴AH=BH= AB,
∴CH=(1﹣ )AB,
∵BH2+CH2=BC2,
∴( AB)2+[(1﹣
)AB]2=4,
∴AB2=4+2 ,
∴AD= ,
∴MN= ,
∴线段MN长的最小值是 .
【考点精析】认真审题,首先需要了解轴对称-最短路线问题(已知起点结点,求最短路径;与确定起点相反,已知终点结点,求最短路径;已知起点和终点,求两结点之间的最短路径;求图中所有最短路径).
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