Question

已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，连CD交BE于F，求证：
（1）CE=DE；
（2）BE⊥CD；
（3）∠ABE=∠ACD．

Answer 1

分析：（1）利用HL定理证明△BCE≌△BDE可得CE=DE；
（2）根据全等三角形的性质可得EC=ED，BC=BD，进而得到BE垂直平分CD，即可得到BE⊥CD；
（3）根据垂直平分线的性质可得∠ECD=∠EDC，再根据同角的余角相等可得∠EDC=∠DBE，进而得到∠ACD=∠ABE．

解答：证明：（1）∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°，
在Rt△BCE和Rt△BDE中，

BD=CB EB=EB

，
∴△BCE≌△BDE（HL），
∴CE=DE；

（2）∵△BCE≌△BDE，
∴EC=ED，BC=BD，
∴BE垂直平分CD，
∴BE⊥CD；

（3）∵BE垂直平分CD，
∴∠ECD=∠EDC，∠DFB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠FDB=90°，
∠FDB+∠DBF=90°，
∴∠EDC=∠DBE，
∴∠ACD=∠ABE．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．