题目内容
【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交底边BC于D.
(1)求证:BD=CD;
(2)若AB=3,cos∠ABC=,在腰AC上取一点E使AE=,试判断DE与⊙O的位置关系,并证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)DE与⊙O相切;理由见解析;
【解析】
(1)连结AD,如图,根据圆周角角定理,由AB为直径得∠ADB=90°,然后根据等腰三角形的性质可得BD=CD;
(2)连结OD,如图,在Rt△ABD中,先利用余弦定义计算出BD=AB=1,则Cd=1,再利用勾股定理计算出AD=2,则有,加上∠DAE=∠CAD,于是可判断△ADE∽△ACD,所以∠AED=∠ADC=90°,接着证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC,所以OD⊥DE,则根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线.
(1)证明:连结AD,如图,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
而AB=AC,
∴BD=CD;
(2)解:DE与⊙O相切.理由如下:
连结OD,如图,
在Rt△ABD中,∵cos∠ABD=,
∴BD=AB=×3=1,
∴AD=,CD=1,
∵,,
∴,
而∠DAE=∠CAD,
∴△ADE∽△ACD,
∴∠AED=∠ADC=90°,
∴DE⊥AC,
∵OA=OB,BD=CD,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE为⊙O的切线.
练习册系列答案
相关题目