题目内容
【题目】如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a＋b＝0；
②abc>0；
③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；
⑤当1<x<4时，有y2<y1，
其中正确的是（ ）．
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】C
【解析】利用轴对称是直线y=1判定①；利用开口方向，对称轴与y主的交点判定a、b、c得出②；利用顶点坐标和平移的规律判定③；利用对称轴和二次函数的对称判定④；利用图象直接判定⑤即可.
解：∵对称轴x=-
=1‘∴2a+b=0，①正确；
∵a<0，∴b >0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c>0，∴abc<0，②错误；
∵把抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y=ax2+bx-3，∴顶点坐标A（1，3）变为（1，0），抛物线与x轴相切，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确；
∵对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（4，0），∴与x轴的另一个交点是（-2，0），④错误；∵1<x<4时，由图象可知y2<y1，∴⑤正确.
正确的有①③⑤.
故选C.
“点睛”本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
