题目内容

【题目】如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.

(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.

【答案】
(1)

证明:∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,

∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,

∵AB=AC,

∴AE=AF,

∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,

∴BE=CF;


(2)

解:∵四边形ACDE为菱形,AB=AC=1,

∴DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,

∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°,

∴∠AEB=∠ABE=45°,

∴△ABE为等腰直角三角形,

∴BE=AC=

∴BD=BE﹣DE=﹣1.


【解析】(1)先由旋转的性质得AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC,利用AB=AC可得AE=AF,于是根据旋转的定义,△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,然后根据旋转的性质得到BE=CD;
(2)由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE,根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE,根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°,所以∠AEB=∠ABE=45°,于是可判断△ABE为等腰直角三角形,所以BE=AC=,于是利用BD=BE﹣DE求解.

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