题目内容

如图①，矩形纸片ABCD中，AD=14cm，AB=10cm．
（1）将矩形纸片ABCD沿折线AE对折，使AB边与AD边重合，B点落在F点处，如图②所示，再剪去四边形CEFD，余下部分如图③所示，若将余下的纸片展开，则所得的四边形ABEF的形状是，它的面积为cm²；
（2）将图③中的纸片沿折线AG对折，使AF与AE边重合，F点落在H点处．如图④所示，再沿HG将△HGE剪下，余下的部分如图⑤所示，把图⑤的纸片完全展开，请你在图⑥的矩形ABCD中画出展开后图形的示意图，剪去的部分用阴影表示，折痕用虚线表示；
（3）求图④中剪去的△HGE的展开图的面积（结果用含有根式的式子表示）．

解：（1）正方形，100；
（2）如右图．
（3）正方形的对角线AE=10 $\text{[math]}$ ，
∵AH=AF=10，AH=AF=10 $\text{[math]}$ -HE，
∴HE=10 $\text{[math]}$ -10，
∴展开图的面积=GH×HE÷2×2=100（3-2 $\text{[math]}$ ）cm²．
分析：（1）∵∠A=∠B=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是正方形，面积等于AB²=100；
（2）动手操作后可很快得到答案；
（3）易得AE=10 $\text{[math]}$ ，那么AH=AF=10，AH=AF=10 $\text{[math]}$ -HE，那么HE=10 $\text{[math]}$ -10；∴展开图的面积=GH×HE÷2×2=100（3-2 $\text{[math]}$ ）cm²．
点评：本题是一道精彩的综合题型，它主要考查学生的动手操作、空间想象和几何计算能力，其题材来源于日常生活生活，设计由简到繁，不同层次的学生都能在本题上有所收获．折纸操作题目是近年出现的考查动手操作和展示数学活动过程的题型，本题在继承的基础上又有所创新，强调让学生将每一次折、剪后的结果用不同的形式表现出来，考查了学生的空间想象能力．第2小题的解法有多种，不同思维习惯，不同程度的学生的解法有难易之分，但都考查了学生的数学活动过程，对于空间观念较强的学生，他可以借助“头脑操作”，将图形逐步还原，再画出展开后的图形；而对于习惯动手实践的学生，他也可以在考场中亲手经历折叠、剪切、展开的过程，直接将操作结果画出．这样的设计尊重了学生的认知差异，让不同层次学生在数学上都能得到适当的发展．第3小题的计算同样也有多种思路，分别考查了学生利用勾股定理，三角函数、三角形全等、轴对称等多方面知识，还考查了整体与部分关系的数学思想．