Question

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4㎝，DC＝6㎝，试求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

1.分别以AB、AC所在的直线为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为点E、F，延长EB、FC相交于G点，试证明四边形AEGF是正方形；

2.设AD＝x㎝,联系(1)的结论，试求出AD的长；

 

Answer 1

【答案】

 

1.由翻折得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC，

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD，

∴AE=AF． 

∴矩形AEGF是正方形．

2.解：∵AD=x，则AE=EG=GF=x，

∵BD=4，DC=6，∴BE=4，CF=6．

∴BG=x-4，CG=x-6．（6分）

在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²

∴（x-4）²+（x-6）²=10²，

∴x²-10x-24=0．

解得x₁=12，x₂=-2（舍），

所以AD=x=12

 【解析】略