Question

如图，C为线段AE上的一点，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交与O点，AD与BC交与P点，BE与CD交与Q点，连接PQ．下列结论：①△ACD≌△BCE；②AP=BQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°；⑤BP=OB．其中正确的结论有________（请把你认为正确的序号填在横线上）

Answer 1

①②③④
分析：根据△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，即可判断①；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，即可判断③；根据△CQB≌△CPA（ASA），即可判断②；求出∠BPO＞∠AOB，即可判断⑤；利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，即可判断④．
解答：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴①正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
∵在△CQB和△CPA中

∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP=BQ，
∴②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
∴③正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ③正确，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴④正确，
∵∠AOB=60°，∠ABC=60°，∠BPO=∠ABC+∠BAP=60°+∠BAP，
∴∠BPO＞∠AOB，
∴BO＞BP，
∴⑤错误；
故答案为：①②③④．
点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．