题目内容
【题目】如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ:AB=3:4,作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.
(1)用关于x的代数式表示BQ,DF.
(2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长.
(3)在点P的整个运动过程中,
①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形?
②作直线BG交⊙O于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案).
【答案】(1)BQ=5x,FD=3x;(2)9;(3)①12或或3;②6 或.
【解析】试题分析:(1)根据Rt△ABQ中AQ:AB=3:4得出AQ=3x,AB=4x,BQ=5x,根据CD⊥m,l⊥m得出OD∥l,则OB=OQ,AH=BH=2x,则CD=2x,则FD=CD=3x;(2)AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ="6x+4" 作OM⊥AQ于点M(如图①)根据外接圆的性质得出∠BAQ=90°,则点O是BQ的中点,则QM=AM=x,则OD=MC=x+4,OE=x,ED=2x+4,根据矩形的面积求出x的值,从而的好粗AP的长度;(3)①当矩形为正方形时,则ED=FD,点P在点A的右侧时,画出图形得出2x+4=3x,得出x的值和AP的长度;点P在点A的左侧时,当点C在点Q右侧当 0<x<时,画出图形得出ED=4-7x,FD=3x,求出x的值和AP的长度;当≤x<时, ED=7-4x,DF=3x,从而求出x的值;当点C在点Q左侧时,即x≥画出图形可得:DE=7x-4,DF=3x,然后求出x的值和AP的长度;②、连结NQ,有点O到BN的弦心距为1得:NQ=2,当点N在AB的左侧时画出图形,过点B作BM⊥EG于点M,根据GM=x,BM=x得出∠GBM=45°,根据BM∥AQ,decubitusAI="AB=4x" ,IQ=x,NQ==2,从而求出x的值,得出AP的长度;当点N在AB的右侧时,画出图形,然后利用同样的方法求出AP的长度.
试题解析:(1)在Rt△ABQ中,∵AQ:AB=3:4 ∴AQ=3x ∴AB=4x BQ=5x
又∵CD⊥m,l⊥m ∴OD∥l ∵OB=OQ ∴AH=BH=AB=2x ∴CD=2x ∴FD=CD=3x
(2)∵AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ=6x+4 作OM⊥AQ于点M(如图①) ∴OM∥AB
∵O是△ABQ的外接圆 ∠BAQ=90° ∴点O是BQ的中点 ∴QM=AM=x ∴OD=MC=x+4
∴OE=BQ=x ∴ED=2x+4 ∴矩形DEGF的面积=DF·DE=3x(2x+4)=90
∴=-5(舍去)=3 ∴AP=3x=9
(3)①若矩形DEGF是正方形 则ED=FD
I、点P在点A的右侧时(如图①) ∴2x+4=3x,解得:x=4 ∴AP=3x=12
II、点P在点A的左侧时 当点C在点Q右侧 0<x<时(如图②) ∵ED=4-7x,FD=3x
∴4-7x=3x 解得:x=∴AP=
当≤x<时(如图③) ED=7-4x,DF=3x ∴7-4x=3x 解得:x=1(舍去)
当点C在点Q左侧时,即x≥(如图④) DE=7x-4 DF=3x ∴7x-4=3x 解得:x=1 ∴AP=3
综上所述:当AP为12或或3时,矩形DEGF是正方形
②、AP的长为6或
连结NQ,有点O到BN的弦心距为1得:NQ=2
当点N在AB的左侧时(如图⑤) 过点B作BM⊥EG于点M ∵GM=x,BM=x ∴∠GBM=45°
∴BM∥AQ,∴AI=AB=4x ∴IQ=x ∴NQ==2 ∴x=2∴AP=6
当点N在AB的右侧时(如图⑥),过点B作BJ⊥GE于点J ∵GJ=x,BJ=4x ∴tan∠GBJ=
∴AI=16x ∴QI=19x ∴NQ==2 ∴x=∴AP=.