题目内容

【题目】如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作RtABQ,使∠BAQ=90°AQAB=34,作ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线ml,过点OODm于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=CD,以DEDF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x

1)用关于x的代数式表示BQDF

2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长.

3)在点P的整个运动过程中,

①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形?

②作直线BG交⊙O于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案).

【答案】(1)BQ=5xFD=3x;(29;(31236 .

【解析】试题分析:(1)根据RtABQAQ:AB=3:4得出AQ=3xAB=4xBQ=5x,根据CDmlm得出ODl,则OB=OQAH=BH=2x,则CD=2x,则FD=CD=3x;(2AP=AQ=3x PC=4 CQ="6x+4" OMAQ于点M(如图)根据外接圆的性质得出BAQ=90°,则点OBQ的中点,则QM=AM=x,则OD=MC=x+4OE=xED=2x+4,根据矩形的面积求出x的值,从而的好粗AP的长度;(3当矩形为正方形时,则ED=FD,点P在点A的右侧时,画出图形得出2x+4=3x,得出x的值和AP的长度;点P在点A的左侧时,当点C在点Q右侧当 0x时,画出图形得出ED=47xFD=3x,求出x的值和AP的长度;当≤x时, ED=74xDF=3x,从而求出x的值;当点C在点Q左侧时,即x≥画出图形可得:DE=7x4DF=3x,然后求出x的值和AP的长度;、连结NQ,有点OBN的弦心距为1得:NQ=2,当点NAB的左侧时画出图形,过点BBMEG于点M,根据GM=xBM=x得出GBM=45°,根据BMAQdecubitusAI="AB=4x" IQ=xNQ==2,从而求出x的值,得出AP的长度;当点NAB的右侧时,画出图形,然后利用同样的方法求出AP的长度.

试题解析:(1)在Rt△ABQ中,∵AQ:AB=3:4 ∴AQ=3x ∴AB=4x BQ=5x

CDmlm ODl OB=OQ AH=BH=AB=2x CD=2x FD=CD=3x

2∵AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ=6x+4 OM⊥AQ于点M(如图∴OM∥AB

OABQ的外接圆 BAQ=90° OBQ的中点 QM=AM=x OD=MC=x+4

OE=BQ=x ED=2x+4 矩形DEGF的面积=DF·DE=3x2x+4=90

=5(舍去)=3 AP=3x=9

3若矩形DEGF是正方形 则ED=FD

I、点P在点A的右侧时(如图∴2x+4=3x,解得:x=4 ∴AP=3x=12

II、点P在点A的左侧时 当点C在点Q右侧 0x时(如图ED=47xFD=3x

47x=3x 解得:x=AP=

≤x时(如图ED=74xDF=3x 74x=3x 解得:x=1(舍去)

当点C在点Q左侧时,即x≥(如图DE=7x4 DF=3x 7x4=3x 解得:x=1 AP=3

综上所述:当AP123时,矩形DEGF是正方形

AP的长为6

连结NQ,有点OBN的弦心距为1得:NQ=2

当点NAB的左侧时(如图) 过点BBM⊥EG于点M ∵GM=xBM=x ∴∠GBM=45°

BMAQAI=AB=4x IQ=x NQ==2 x=2AP=6

当点NAB的右侧时(如图),过点BBJGE于点J GJ=xBJ=4x tanGBJ=

AI=16x QI=19x NQ==2 x=AP=.

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