Question

如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的⊙A与轴相交于点，与轴相交于点．

（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上；

（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小；

（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？∠若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）

 

Answer 1

解：（1）∵，⊙A的半径为

∴OA=，AD=

，  

在中，，

∴OD=3，的坐标为 

∵抛物线过两点，

 

∴

所求抛物线的解析式为：    

　当时，

点在抛物线上                  

（2）

　抛物线的对称轴方程为 

　在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小．

　的长为定值　　　要使周长最小只需最小．

　连结，则与对称轴的交点即为使周长最小的点．

　∵直线的解析式为    

当x=时，y=-2，

∴所求点的坐标为        

（3）在抛物线上存在点，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．

  ∵BC=4

①     当BC为平行四边形的边，且点M在抛物线对称轴的左侧时，

所求M点的坐标是（-3，12）  

②     当BC为平行四边形的边，且点M在抛物线对称轴的右侧时，

所求M点的坐标是（5，12）   

③当BC为平行四边形的对角线时，所求M点的坐标是（，4）-----9分

综上所述：在抛物线上存在点，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，且所求M的坐标为（-3，12）、（5，12）、

（，4）．