Question

【题目】如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．
（1）求证：EG=CH；
（2）已知AF= ，求AD和AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由折叠知AE=AD=EG，BC=CH，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，

∴EG=CH

（2）解：∵∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF= ，

∴DG= ，DF=2，

∴AD=AF+DF= +2；

由折叠知∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC，

∴∠GEF+∠HEC=90°，∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠BEC=∠AFE，

在△AEF与△BCE中，

，

∴△AEF≌△BCE（AAS），

∴AF=BE，

∴AB=AE+BE= +2+ =2 +2．

【解析】（1）由折叠的性质及矩形的性质可知AE=AD=EG，BC=CH，再根据四边形ABCD是矩形，可得AD=BC，等量代换即可证明EG=CH；（2）由折叠的性质可知∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF= ，那么DG= ，利用勾股定理求出DF=2，于是可得AD=AF+DF= +2；再利用AAS证明△AEF≌△BCE，得到AF=BE，于是AB=AE+BE= +2+ =2 +2．