题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α.

1)如图②,当α=135°时,求AE′BF′的长;

2)如图③,当0°﹤α﹤180°时, AE′BF′有什么位置关系;

3)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).

【答案】(1)AE′,BF′的长都等于

(2)AE′⊥BF′;

(3)点P的纵坐标的最大值为+12.

【解析】试题分析:1)利用勾股定理即可求出AE′BF′的长(2)运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题.(3)首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置(点P与点D′重合时),然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值.

试题解析:(Ⅰ)α=90,E′与点F重合,如图①

∵点A(2,0)B(0,2)

OA=OB=2.

∵点E,点F分别为OAOB的中点,

OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的,

OE′=OE=1,OF′=OF=1.

RtAE′O中,

AE′===.

RtBOF′中,

BF′===.

AE′,BF′的长都等于.

(Ⅱ)α=135°,如图②

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得,

∴∠AOE′=BOF′=135°.

AOE′BOF′中,

∴△AOE′≌△BOF′(SAS).

AE′=BF′,且∠OAE′=OBF′.

∵∠ACB=CAO+AOC=CBP+CPBCAO=CBP

∴∠CPB=AOC=90°

AE′BF′.

(Ⅲ)∵∠BPA=BOA=90°

∴点PB. A.O四点共圆,

∴当点P在劣弧OB上运动时,点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大。

OE′=1

∴点E′在以点O为圆心,1为半径的圆O上运动,

∴当APO相切时,E′AO(即∠PAO)最大,

此时∠AE′O=90°,D′与点P重合,点P的纵坐标达到最大。

过点PPHx轴,垂足为H,如图③所示。

∵∠AE′O=90°,E′O=1AO=2

∴∠E′AO=30°,AE′=.

AP=+1.

∵∠AHP=90°,PAH=30°

PH=AP=.

∴点P的纵坐标的最大值为.

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