题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α.
(1)如图②,当α=135°时,求AE′,BF′的长;
(2)如图③,当0°﹤α﹤180°时, AE′和BF′有什么位置关系;
(3)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).
【答案】(1)AE′,BF′的长都等于;
(2)AE′⊥BF′;
(3)点P的纵坐标的最大值为+12.
【解析】试题分析:(1)利用勾股定理即可求出AE′,BF′的长(2)运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题.(3)首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置(点P与点D′重合时),然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值.
试题解析:(Ⅰ)当α=90时,点E′与点F重合,如图①。
∵点A(2,0)点B(0,2),
∴OA=OB=2.
∵点E,点F分别为OA,OB的中点,
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的,
∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中,
AE′===.
在Rt△BOF′中,
BF′===.
∴AE′,BF′的长都等于.
(Ⅱ)当α=135°时,如图②。
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得,
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中,
,
∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB,∠CAO=∠CBP,
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′.
(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°,
∴点P、B. A.O四点共圆,
∴当点P在劣弧OB上运动时,点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大。
∵OE′=1,
∴点E′在以点O为圆心,1为半径的圆O上运动,
∴当AP与O相切时,∠E′AO(即∠PAO)最大,
此时∠AE′O=90°,点D′与点P重合,点P的纵坐标达到最大。
过点P作PH⊥x轴,垂足为H,如图③所示。
∵∠AE′O=90°,E′O=1,AO=2,
∴∠E′AO=30°,AE′=.
∴AP=+1.
∵∠AHP=90°,∠PAH=30°,
∴PH=AP=.
∴点P的纵坐标的最大值为.