Question

3、如图所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．

Answer 1

分析：由MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．

解答：解：证明：连接DN，
∵N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，
∴ND=NC．
已知AD∥BC及∠ADC=135°，
∴∠C=45°，
∴∠NDC=45°（等腰三角形性质）．
在△NDC中，∠DNC=90°（三角形内角和定理），
∴ABND是矩形，
∴AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．
∴△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，
∴BN=BF，已证得AD=BN，
∴AD=BF．

点评：本题考查了直角梯形、矩形、直角三角形等相关知识点，解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．