题目内容
【题目】如图,在直角坐标平面中,O为原点,点A的坐标为(20,0),点B在第一象限内,BO=10,sin∠BOA=.
(1)在图中,求作△ABO的外接圆;(尺规作图,不写作法但需保留作图痕迹)
(2)求点B的坐标与cos∠BAO的值;
(3)若A,O位置不变,将点B沿轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形,请直接写出平移距离.
【答案】(1)见解析;(2)cos∠BAO=;(3)当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、(2+12)个单位,或(2﹣8)个单位时,△ABO为等腰三角形.
【解析】试题分析:(1)作OB,AB的垂直平分线交于一点M,以点M为圆心,MA为半径画圆,则圆M即为所求;
(2)如图,作BH⊥OA,垂足为H,在Rt△OHB中,由BO=10,sin∠BOA=,得到BH=6,OH=8,求出点B的坐标为(8,6),根据OA=20,OH=8,求出AH=12,在Rt△AHB中,由BH=6,得到AB==6,求出cos∠BAO==;
(3)①当BO=AB时,由AO=20,得到OH=10,点B沿x轴正半轴方向平移2个单位;
②当AO=AB′时,由AO=20,得到AB′=20,过B′作B′N⊥x轴,由点B的坐标为(8,6),得到B′N=6,AN==2.求得点B沿x轴正半轴方向平移(2+12)个单位,
③当AO=OB″时,由AO=20,得到OB″=20,过B″作B″P⊥x轴.由B的坐标为(8,6),得到B″P=6,OP==2,点B沿x轴正半轴方向平移(2﹣8)个单位.
解:(1)如图所示:
(2)如图,作BH⊥OA,垂足为H,
在Rt△OHB中,∵BO=10,sin∠BOA=,
∴BH=6,
∴OH=8,∴点B的坐标为(8,6),
∵OA=20,OH=8,∴AH=12,
在Rt△AHB中,∵BH=6,
∴AB==6
∴cos∠BAO==;
(3)①当BO=AB时,∵AO=20,∴OH=10,
∴点B沿x轴正半轴方向平移2个单位,
②当AO=AB′时,∵AO=20,∴AB′=20,
过B′作B′N⊥x轴,
∵点B的坐标为(8,6),
∴B′N=6,∴AN==2.
∴点B沿x轴正半轴方向平移(2+12)个单位,
③当AO=OB″时,
∵AO=20,
∴OB″=20,
过B″作B″P⊥x轴.
∵B的坐标为(8,6),
∴B″P=6,
∴OP==2,
∴点B沿x轴正半轴方向平移(2﹣8)个单位,
综上所述当点B沿x轴正半轴方向平移2个单位、(2+12)个单位,或(2﹣8)个单位时,△ABO为等腰三角形.