题目内容
如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点,过点D作⊙O的切线交AC边于点E.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)连结OC交DE于点F,若sin∠ABC=
,求
的值.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)连结OC交DE于点F,若sin∠ABC=
3 |
4 |
OF |
FC |
考点:切线的性质,相似三角形的判定与性质
专题:
分析:(1)连接OD.根据三角形中位线定理判定OD是△ABC的中位线,则OD∥AC,所以∠DEC=∠ODE=90°,即DE⊥AC;
(2)连接AD.通过解直角三角形得到sin∠ABC=
=
,故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x;由相似三角形△ADC∽△AED的对应边成比例得到AD2=AE•AC.则AE=
x,EC=
x,所以
=
=
.
(2)连接AD.通过解直角三角形得到sin∠ABC=
AD |
AB |
3 |
4 |
9 |
4 |
7 |
4 |
OF |
FC |
OD |
EC |
8 |
7 |
解答:(1)证明:连接OD.
∵DE是⊙O的切线,
∴DE⊥OD,即∠ODE=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点,.
∴OD∥AC.
∴∠DEC=∠ODE=90°.
∴DE⊥AC;
(2)解:连接AD.
∵OD∥AC,
∴
=
.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵D为BC的中点,
∴AB=AC.
∵sin∠ABC=
=
,
故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.
∵DE⊥AC,
∴∠ADC=∠AED=90°.
∵∠DAC=∠EAD,
∴△ADC∽△AED.
∴
=
.
∴AD2=AE•AC.
∴AE=
x.
∴EC=
x.
∴
=
=
.
∵DE是⊙O的切线,
∴DE⊥OD,即∠ODE=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点,.
∴OD∥AC.
∴∠DEC=∠ODE=90°.
∴DE⊥AC;
(2)解:连接AD.
∵OD∥AC,
∴
OF |
FC |
OD |
EC |
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵D为BC的中点,
∴AB=AC.
∵sin∠ABC=
AD |
AB |
3 |
4 |
故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.
∵DE⊥AC,
∴∠ADC=∠AED=90°.
∵∠DAC=∠EAD,
∴△ADC∽△AED.
∴
AD |
AE |
AC |
AD |
∴AD2=AE•AC.
∴AE=
9 |
4 |
∴EC=
7 |
4 |
∴
OF |
FC |
OD |
EC |
8 |
7 |
点评:本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
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