题目内容
如图,在平面直角坐标系中,直线y1=
x与直线y2=-
x+4
相交于点A,直线y2=-
x+4
交x轴于点B,动点M在线段OB上以每秒1个单位长度的速度从点B向点O移动,同时动点N以每秒2个单位长度的速度沿折线O-A-B移动,当一个点停止运动时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)是否存在O、A、M、N为顶点的四边形为等腰梯形的情形?若存在,求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在直线MN与△OAB中的一条边垂直的情形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
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(1)求A、B两点的坐标;
(2)是否存在O、A、M、N为顶点的四边形为等腰梯形的情形?若存在,求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在直线MN与△OAB中的一条边垂直的情形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
考点:一次函数综合题
专题:
分析:(1)解两直线解析式组成的方程组即可求得A的坐标,在第二条直线的解析式中,令y=0即可求得B的横坐标,从而求得B的坐标;
(2)易证△OAB是等边三角形,利用t表示出M和N的坐标,根据MN∥OA,两直线的斜率相等求得t的值,利用待定系数法求得MN的解析式;
(3)分0≤t<2和t=2以及2<t≤4三种情况讨论,根据△ABC是等边三角形可以得到MN与△OAB的边垂直时构成的三角三角形的一个角一定是30°,根据30°角的所对的直角边等于斜边的一半,即可列出方程求得t的值.
(2)易证△OAB是等边三角形,利用t表示出M和N的坐标,根据MN∥OA,两直线的斜率相等求得t的值,利用待定系数法求得MN的解析式;
(3)分0≤t<2和t=2以及2<t≤4三种情况讨论,根据△ABC是等边三角形可以得到MN与△OAB的边垂直时构成的三角三角形的一个角一定是30°,根据30°角的所对的直角边等于斜边的一半,即可列出方程求得t的值.
解答:解:(1)根据题意得:
,
解得:
,
故A的坐标是(2,2
),
在y2=-
x+4
中令y=0,解得:x=4,故B的坐标是(4,0);
(2)∵A的坐标是(2,2
),B的坐标是(4,0),
∴OA=
=4,AB=
=4,
∴OA=AB=OB.即△OAB是等边三角形.
作AD⊥OB于点D,则D的坐标是(2,0),AD=2
.OD=BD=2.
当N在边AB上,且MN∥OA时,在O、A、M、N为顶点的四边形是等腰梯形.
设经过t秒变成如图所示,M的坐标是(4-t,0),AN=2t-4,
作NE⊥AD于点E.
则在直角△ANE中,∠NAE=30°,
则NE=
AN=t-2,AE=AN•cos30°=
(2t-4)=
t-2
.
故N的横坐标是2+(t-2)=t,纵坐标是2
-(
t-2
)=4
-
t.
N的坐标是(t,4
-
t).
∵MN∥OA,
∴
=
.
解得:t=
.
则M的坐标是(
,0).设直线MN的解析式是y=
x+b,则
×
+b=0,解得:b=-
.
故MN的解析式是:y=
x-
;
(3)当0≤t<2时,M在BD上,N在OA上,则一定有MN⊥OA,此时,ON=
OM,即2t=
(4-t),解得:t=
;
当t=2时,M在D点,N在A点,此时有MN⊥OB.
当2<t≤4时,M在OD上,N在AB上,若垂直,一定是MN⊥AB,则NB=
MB,即8-2t=
t,解得:t=
.
总之,t的值是:
或2或
.
|
解得:
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故A的坐标是(2,2
3 |
在y2=-
3 |
3 |
(2)∵A的坐标是(2,2
3 |
∴OA=
22+(2
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(4-2)2+(2
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∴OA=AB=OB.即△OAB是等边三角形.
作AD⊥OB于点D,则D的坐标是(2,0),AD=2
3 |
当N在边AB上,且MN∥OA时,在O、A、M、N为顶点的四边形是等腰梯形.
设经过t秒变成如图所示,M的坐标是(4-t,0),AN=2t-4,
作NE⊥AD于点E.
则在直角△ANE中,∠NAE=30°,
则NE=
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2 |
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3 |
故N的横坐标是2+(t-2)=t,纵坐标是2
3 |
3 |
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3 |
N的坐标是(t,4
3 |
3 |
∵MN∥OA,
∴
4
| ||||
t-(4-t) |
3 |
解得:t=
8 |
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则M的坐标是(
4 |
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4 |
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4
| ||
3 |
故MN的解析式是:y=
3 |
4
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(3)当0≤t<2时,M在BD上,N在OA上,则一定有MN⊥OA,此时,ON=
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当t=2时,M在D点,N在A点,此时有MN⊥OB.
当2<t≤4时,M在OD上,N在AB上,若垂直,一定是MN⊥AB,则NB=
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总之,t的值是:
4 |
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5 |
点评:本题是待定系数法求函数解析式,等腰梯形的判定以及直角三角形的性质的综合应用,正确分类讨论是关键.
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1 |
3 |
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