题目内容

在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,4),D为OC的中点.

(1)求m的值;
(2)抛物线的对称轴与 x轴交于点E,在直线AD上是否存在点F,使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE 相似?若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△GBC中BC边上的高为?若存在,求出点G的坐标;若不存在请说明理由.
(1)-1;(2)(1,4)或(,5);(3)()或().

试题分析:(1)由抛物线与y轴交于点C(0,4),把C点的坐标代入解析式建立方程,求出方程的解,就可以求出m的值;
(2)先求出抛物线与x轴的交点坐标,根据抛物线的对称性求出E点的坐标,然后根据对应角不同的情况就可以求出F的不同坐标;
(3)先由待定系数法求出直线BC的解析式,然后由题目的条件求出与直线BC平行且距离为 的直线的解析式,再由抛物线的对称轴与这些与BC平行的直线的解析式构建方程组求出其解,就可以求出G的坐标.
试题解析:(1)抛物线与y轴交于点C(0,4),
∴5+m=4.∴m=-1.
(2)抛物线的解析式为 y=-x2+3x+4.
可求抛物线与x轴的交点A(-1,0),B(4,0).
可求点E的坐标(,0).
由图知,点F在x轴下方的直线AD上时,△ABF是钝角三角形,不可能与△ADE相似,所以点F一定在x轴上方.
此时△ABF与△ADE有一个公共角,两个三角形相似存在两种情况:
时,由于E为AB的中点,此时D为AF的中点,可求 F点坐标为(1,4).
②当时,,解得: .
如图(2)过F点作FH⊥x轴,垂足为H.

∵D是OC的中点,∴OD=2.
∴由勾股定理得:.
, 解得.
由勾股定理得:
∴F的坐标为(,5).
(3)在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G.
由题意,可知△OBC为等腰直角三角形,直线BC为y=-x+4.
如图(3),
∵MQ∥BC,QP=,∴由勾股定理,得CQ=5.
∴可求与直线BC平行且距离为的直线为y=-x+9或y=-x-1.
∴点G在直线y=-x+9或y=-x-1上.
∵抛物线的对称轴是直线x=
,解得:.
∴点G的坐标为()或().
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