Question

【题目】如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣3，0），

∴O为AB的中点，即OA=OB=3，

∴P（3，4），B（3，0），

将P（3，4）代入反比例解析式得：k=12，即反比例解析式为y= ．

将A（﹣3，0）与P（3，4）代入y=ax+b得： ，

解得： ，

∴一次函数解析式为y= x+2

（2）解：如图所示，

把y=2代入y= 中，得x=6，得D（6，2），

PB垂直且平分CD，

则四边形BCPD为菱形．

则点D（6，2）

【解析】（1）先根据题意得出P点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y= 即可得出k的值，再将A、P两点的坐标代入y=ax+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，进而得出结论；（2）先求得y=2时，x=6，再根据菱形的判定即可求解．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判定与性质等知识，难度适中．
【考点精析】通过灵活运用菱形的判定方法，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形即可以解答此题．