Question

【题目】如图，已知直线y=ax+b与双曲线（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．

（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．

（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．

（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．

Answer 1

【答案】（1）P点坐标为（4，0）；

（2）A（2，2），B（4，1）；

（3）x1+x2=x0．

【解析】

试题分析：（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，进一步可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线解析式，可求得P点坐标；

（2）过点A作AD∥x轴，交x轴于点D，利用△ACD∽△PCO，结合A、P、C的坐标可求得x1、y1之间的关系，结合AB=BP可表示出B点坐标，再结合A、B两点都在反比例函数图象上，可求得A、B两点的坐标；

（3）结合（1）、（2）中的坐标可猜得结论．

试题解析：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y=上，∴k=3，

∵点B（3，y2）在y=上，

∴y2=1，即B点坐标为（3，1），

把A、B两点坐标代入直线y=ax+b，

可得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，

当y=0时，x=4，∴P点坐标为（4，0）；

（2）如图，过A作AD∥x轴，交y轴于点D，则AD⊥y轴，

∴△ACD∽△PCO，∴=，

∵b=y1+1，P（6，0），A（x1，y1），

∴CD=1，OC=y1+1，AD=x1，OP=6，

∴=，

∵AB=BP，A（x1，y1），

∴B为AP中点，且P为（6，0），∴B点坐标为（，），∵A、B两点都在y=上，∴x1y1=，解得x1=2，∴=，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）；

（3）猜想x1，x2，x0之间的关系式为：x1+x2=x0．

理由如下：∵A（x1，y1），B（x2，y2），

∴，解得，

∴直线AB解析式为y=x﹣，

令y=0可得x=，

∵x1y1=x2y2，

∴x===x1+x2，

即x1+x2=x0．