题目内容
已知正方形ABCD的边长为2,点E、F均在直线BD上,且∠EAF=135°,EB:DF=1:2.(1)求CF;
(2)在直线BD上是否存在点P,使A、E、P三点围成的三角形是直角三角形?若存在求出EP的长,不存在请说明理由.
分析:(1)根据正方形的性质,得到对应边相等且对角线平分正方形的内角,进而由“SAS”得到△ADF≌△CDF,得到AF=CF,然后根据等量代换得到∠DAF=∠AEB,由等角的补角相等得到∠ABE=∠ADF=135°,进而得到△AEB∽△FAD,得到一个比例式,设EB=x,则DF=2x,且正方形边长为2,代入比例式中求出x的值,确定出DF的长,连接AC,由正方形的性质可知AC⊥BD,O为BD中点,求出OA以及OF的长,利用勾股定理即可求出AF的长,即CF的长;
(2)存在.有两解:第一,当P与O重合时,EO即为EP的长,根据(1)求出的EB和OB的长求出EP即可;第二,当AP⊥AE,与BD交于点P,此时△AEP为直角三角形,根据题意画出图形,由两对角相等的两三角形相似得到△AEO∽△PEA,由相似三角形对应边成比例列出比例式,由AE和EO的长即可求出PE.
(2)存在.有两解:第一,当P与O重合时,EO即为EP的长,根据(1)求出的EB和OB的长求出EP即可;第二,当AP⊥AE,与BD交于点P,此时△AEP为直角三角形,根据题意画出图形,由两对角相等的两三角形相似得到△AEO∽△PEA,由相似三角形对应边成比例列出比例式,由AE和EO的长即可求出PE.
解答:解:(1)∵正方形ABCD,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,即∠ADF=∠CDF=135°,
在△ADF和△CDF中,
∴△ADF≌△CDF(SAS),
∴AF=CF,
又∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAF=135°,且∠BAD=90°,
∴∠EAB+∠DAF=45°,而∠ABD=∠EAB+∠AEB=45°,
∴∠DAF=∠AEB,∠ABE=∠ADF=135°,
∴△AEB∽△FAD,
设EB=x,则DF=2x,AB=AD=2,
∴
=
,解得x=
,则DF=2
,
连接AC交BD与O,由正方形ABCD,得到AC⊥BD,O为BD中点,
∴OD=OA=
,则OF=OD+DF=3
,
在直角三角形OAF中,根据勾股定理得:
AF2=AO2+OF2=2+18=20,解得AF=2
,则CF=2
;
(2)存在.
当P与(1)中的正方形中心O重合时,△AEP为直角三角形,
由(1)得到OB=BE=
,∴EP=2
;
过A作AP⊥AE,与BD交于点P,此时△AEP为直角三角形,
根据题意画出图形,如图所示:
由题意可知:∠PAE=∠AOE=90°,∠AOE=∠PEA,
∴△AEO∽△PEA,∴AE2=EO•EP,
AE=
=
,EO=2
,
则EP=
=
.
EP的长为2
或
.
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,即∠ADF=∠CDF=135°,
在△ADF和△CDF中,
|
∴△ADF≌△CDF(SAS),
∴AF=CF,
又∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAF=135°,且∠BAD=90°,
∴∠EAB+∠DAF=45°,而∠ABD=∠EAB+∠AEB=45°,
∴∠DAF=∠AEB,∠ABE=∠ADF=135°,
∴△AEB∽△FAD,
设EB=x,则DF=2x,AB=AD=2,
∴
x |
2 |
2 |
2x |
2 |
2 |
连接AC交BD与O,由正方形ABCD,得到AC⊥BD,O为BD中点,
∴OD=OA=
2 |
2 |
在直角三角形OAF中,根据勾股定理得:
AF2=AO2+OF2=2+18=20,解得AF=2
5 |
5 |
(2)存在.
当P与(1)中的正方形中心O重合时,△AEP为直角三角形,
由(1)得到OB=BE=
2 |
2 |
过A作AP⊥AE,与BD交于点P,此时△AEP为直角三角形,
根据题意画出图形,如图所示:
由题意可知:∠PAE=∠AOE=90°,∠AOE=∠PEA,
∴△AEO∽△PEA,∴AE2=EO•EP,
AE=
EO2+AO2 |
10 |
2 |
则EP=
10 | ||
2
|
5
| ||
2 |
EP的长为2
2 |
5
| ||
2 |
点评:此题综合考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理.学生在作第二问时注意结合图形,由相似得比例,进而找出已知与未知的关系,锻炼了学生分析问题,解决问题的能力.
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