题目内容
【题目】如图1,将△ABC纸片沿中位线EH折叠,使点A对称点D落在BC边上,再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形,类似地,对多边形进行折叠,若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形,这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG,则操作形成的折痕分别是线段_______,_________;S矩形AEFG:S□ABCD=__________.
(2)□ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的长;
(3)如图4,四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把该纸片折叠,得到叠合正方形,请你帮助画出一种叠合正方形的示意图,并求出AD、BC的长.
【答案】 AE GF 1:2
【解析】分析:(1)由图可直接得到第一、二空答案,根据折叠的性质可得△AEH与△ABE面积相等、梯形HFGA与梯形FCDG面积相等,据此不难得到第三空答案;
(2)对图形进行点标注,如图所示:首先根据勾股定理求得FH的长,再根据折叠的性质以及请到的知识可得AH=FN,HD=HN,然后根据线段和差关系即可得到AD的长;
(3)根据题目信息,动手这一下,然后将结合画出来,再结合折叠的性质以及勾股定理的知识分析解答即可.
详解:(1)根据题意得:操作形成的折痕分别是线段AE、GF;
由折叠的性质得:△ABE≌△AHE,四边形AHFG≌四边形DCFG,
∴△ABE的面积=△AHE的面积,四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积,
∴S矩形AEFG=S平行四边形ABCD,
∴S矩形AEFG:S平行四边形ABCD=1:2;
故答案为:AE,GF,1:2;
(2)∵四边形EFGH是矩形,
∴∠HEF=90°,
∴FH==13,
由折叠的性质得:AD=FH=13;
由折叠的对称性可知:DH=NH,AH=HM,CF=FN.
易得△AEH≌CGF,
所以CF=AH,
所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.
(3)有3种折法,如图4、图5、图6所示:
①折法1中,如图4所示:
由折叠的性质得:AD=BG,AE=BE=AB=4,CF=DF=CD=5,GM=CM,∠FMC=90°,
∵四边形EFMB是叠合正方形,
∴BM=FM=4,
∴GM=CM==3,
∴AD=BG=BM-GM=1,BC=BM+CM=7;
②折法2中,如图5所示:
由折叠的性质得:四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积,AE=BE=AB=4,DG=NG,NH=CH,BM=FM,MN=MC,
∴GH=CD=5,
∵四边形EMHG是叠合正方形,
∴EM=GH=5,正方形EMHG的面积=52=25,
∵∠B=90°,
∴FM=BM==3,
设AD=x,则MN=FM+FN=3+x,
∵梯形ABCD的面积=(AD+BC)×8=2×25,
∴AD+BC=,
∴BC=-x,
∴MC=BC-BM=-x-3,
∵MN=MC,
∴3+x=-x-3,
解得:x=,
∴AD=,BC=-=;
③折法3中,如图6所示,作GM⊥BC于M,
则E、G分别为AB、CD的中点,
则AH=AE=BE=BF=4,CG=CD=5,正方形的边长EF=GF=4,
GM=FM=4,CM==3,
∴BC=BF+FM+CM=11,FN=CF=7,DH=NH=8-7=1,
∴AD=5.