Question

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30º，∠APB＝60º.

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.

Answer 1

（1）见解析；（2）2

试题分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证；
（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果。
（1）连接OB．
∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．               
∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．             
∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．        
∴OB⊥PB．
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线．                           
（2）连接OP，

∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．          
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4．                            
∴PA=OP²-OA²=2
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2。
点评：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．