题目内容
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3 | 4 |
(1)求点Q运动的速度;
(2)当点Q运动到线段BA上时,设点P运动的时间为x(秒),△POQ的面积为y(平方厘米),那么用x的代数式表示AQ=
(3)若将(2)中所得函数的自变量x的取值范围扩大到任意实数后,其函数图象上是否存在点M,使得点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)因为直线y=-34x+6交x轴于点A,交y轴于点B,所以可求出A(8,0),B(0,6),进而求出线段OA=8,0B=6,AB=10,利用速度=路程÷时间即可解决问题;
(2)AQ=10+6-2X=16-2X,要求y与x的函数关系式,可作QE⊥x轴于点E,则QE∥y轴,得到△AQE∽△ABO,进而可得到QE:6=AQ:AB,QE=
AQ;又因y=
•OP•QE代入相关数据即可求解;
(3)可设M(a,b),令y=0,则可求出函数图象与x轴的交点(0,0),(8,6),利用点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积,可得到|b|×
×8=
×6×8,b=±6,然后分情况讨论:当b=6时,6=-
x 2+
x;所以x=4±
;当b=-6时,-6=-
x 2+
x;所以x=4±
,所以M(4±
,6),(4±
,-6).
(2)AQ=10+6-2X=16-2X,要求y与x的函数关系式,可作QE⊥x轴于点E,则QE∥y轴,得到△AQE∽△ABO,进而可得到QE:6=AQ:AB,QE=
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(3)可设M(a,b),令y=0,则可求出函数图象与x轴的交点(0,0),(8,6),利用点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积,可得到|b|×
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解答:解:(1)∵直线y=-34x+6交x轴于点A,交y轴于点B,
∴A(8,0),B(0,6)
∴OA=8,0B=6,AB=10
∴点Q运动的速度=(6+10)÷(8÷1)=2厘米/秒;
(2)AQ=10+6-2X=16-2X,
作QE⊥x轴于点E,则QE∥y轴,
∴△AQE∽△ABO
∴QE:6=AQ:AB
∴QE=
AQ
∴y=
•OP•QE=
•x•
(16-2x)=-
x 2+
x;
(3)设M(a,b)
令y=0,则0=-
x 2+
x
∴x=0或x=8
即函数图象与x轴交于(0,0),(8,6)
∵点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积
∴|b|×
×8=
×6×8
∴b=±6
当b=6时,6=-
x 2+
x,所以x=4±
;
当b=-6时,-6=-
x 2+
x,所以x=4±
.
所以M(4±
,6),(4±
,-6).
∴A(8,0),B(0,6)
∴OA=8,0B=6,AB=10
∴点Q运动的速度=(6+10)÷(8÷1)=2厘米/秒;
(2)AQ=10+6-2X=16-2X,
作QE⊥x轴于点E,则QE∥y轴,
∴△AQE∽△ABO
∴QE:6=AQ:AB
∴QE=
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∴y=
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5 |
(3)设M(a,b)
令y=0,则0=-
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5 |
∴x=0或x=8
即函数图象与x轴交于(0,0),(8,6)
∵点M与该函数图象和x轴的两个交点所组成的三角形面积等于△AOB的面积
∴|b|×
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1 |
2 |
∴b=±6
当b=6时,6=-
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当b=-6时,-6=-
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所以M(4±
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点评:本题需仔细分析题意,结合图形,利用方程、相似三角形的性质即可解决问题.
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