题目内容
【题目】在
中，
，
，
，圆
在
内自由移动.若
的半径为1，则圆心在内所能到达的区域的面积为______.
【答案】24
【解析】
根据题意做图，圆心
在
内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM，根据Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K点，利用△BEK∽△BHC，求出BK的长，即可求出EF的长，再根据△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面积.
如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接BE，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，EK⊥BC于K，作FJ⊥BC于J．
∵
，
，
，
∴AB=
根据圆的性质可知BH平分∠ABC
∴故CH=HM,设CH=x=HM，则AH=12-x，BM=BC=9,
∴AM=15-9=6
在Rt△AMH中，AH2=HM2+AM2
即AH2=HM2+AM2
（12-x）2=x2+62
解得x=4.5
∵EK∥AC，
∴△BEK∽△BHC，
∴
，即
∴BK=2，
∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，
∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，
∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，
∴△EFG∽△ACB，
故
,即
解得FG=8
∴圆心在内所能到达的区域的面积为
FG×EF=×8×6=24,
故答案为24.
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