题目内容
如图所示,在⊙O中,,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.
(1)求证:AC2=AB•AF;
(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积.
【答案】
(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明:∵,∴∠ACD=∠ABC。
又∵∠BAC=∠CAF,∴△ACF∽△ABC。
∴,即AC2=AB•AF。
(2)解:如图,连接OA,OC,过O作OE⊥AC,垂足为点E,
∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°。
又∵OA=OC,∴∠AOE=∠COE=×120°=60°。
在Rt△AOE中,OA=2, OE=OAcos60°=1
∴。∴AC=2AE=2。
∴。
(1)由,利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等,再由一对公共角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC,根据相似得比例可得证。
(2)连接OA,OC,过O作OE垂直于AC,垂足为点E,由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积,利用等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义求出各线段长即可
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