Question

如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S．
（1）求点A的坐标；
（2）求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标；
（3）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式；
（4）在（3）的条件下，t为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时（2）中的抛物线的顶点P是否在直线EF上，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可联立直线OA和AC的函数解析式组成方程组，即可求出A点的坐标．
（2）先根据直线BC的解析式求出B点的坐标，然后根据已知的A点和原点坐标，用待定系数法即可求出过A、B、O三点的抛物线的解析式．进而可求出其顶点P的坐标．
（3）如果设FM与y轴交于R，EN与y轴交于Q，不难得出三角形OEQ为等腰直角三角形，那么本题可分二种情况进行讨论：
①当EF＞QE时，那么重合部分的面积是个矩形的面积，以EF和QE为长和宽．
②当EF≤QE时，那么重复部分就是正方形EFMN的面积．
根据这两种情况可得出不同t的取值范围内的S，t的函数关系式．
（4）可根据（3）的函数得出S的最大值及对应的t的值．然后根据t确定出E，F点的坐标，进而可求出直线EF的解析式，由此可判断出抛物线的顶点是否在直线EF上．

解答：解：（1）依题意得

y=-2x+12 y=x

．
解得

x=4 y=4

．
∴点A的坐标为（4，4）．

（2）直线y=-2x+12与x轴交点B的坐标为（6，0）．
设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax²+bx，
依题意得

36a+6b=0 16a+4b=4

．
解得

a=- 1 2 b=3

．
∴所求抛物线的表达式为y=-

1

2

x²+3x．
y=-

1

2

x²+3x=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，
∴点P坐标（3，

9

2

）．

（3）设直线MF、NE与y轴交于点R、Q，则△OQE是等腰直角三角形．
∵OE=1×t=t，
∴EQ=OQ=

2

2

t，
∴E（

2

2

t，

2

2

t）．
∵EF∥y轴，
∴RF=

2

2

t，RO=-2×

2

2

t+12=12-

2

t．
∴EF=RQ=12-

2

t-

2

2

t=12-

3 2

2

t．
①当EF＞QE时，即12-

3 2

2

t＞

2

2

t，
解得t＜3

2

．
∴当0≤t＜3

2

时，S=EF•QE=

2

2

t（12-

3 2

2

t）=-

3

2

t²+6

2

t．
②当EF≤QE时，即12-

3 2

2

t≤

2

2

t，
解得t≥3

2

．
∴当3

2

≤t＜4

2

时，S=EF²=（12-

3 2

2

t）²．
（4）当0≤t＜3

2

时，S=-

3

2

t²+6

2

t=-

3

2

（t-2

2

）²+12．
∴当t=2

2

时，S_最大=12．
当3

2

≤t＜4

2

时，S_最大=（12-

3 2

2

×3

2

）²=9．
∴当t=2

2

时，S_最大=12．
当t=2

2

时，E（2，2），F（2，8），
∵P（3，

9

2

），
∴点P不在直线EF上．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．