题目内容
【题目】阅读下列材料，并解答问题:
阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏?阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八．．．．按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．
(1)国际象棋的棋盘共有
个格子，则在第格中应放 粒米．(用幂表示)
(2)请探究第(1)题中的幂的个位数字是多少?(简要写出探究过程)
(3)你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗?为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程:
“用分数表示无限循环小数:
解:设
．等式两边同时乘
，
得
．
将
得:
，
则
请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数．(用幂的形式表示)
【答案】(1) 263；(2) 8；(3) 264-1
【解析】
(1)观察发现，第n个格子里的米粒数是2为底数，n-1作为指数；
(2)通过计算可以看出，个位数是以4项为一组循环的，用63除以4，余数是几就与第几项的个位数相同；
(3)利用信息，这列数都乘以2，再相减即可求出．
(1)第一格放一粒米为：20，
第二格放二粒：21，
第三格放四粒：22，
第四格放八粒：23
…
按这个方法，
国际象棋共有64个格子，
则在第64格应放263粒米；
故答案为：263；
(2)∵20=1，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…
，
∴263的末位数字与23的末位数字相同，是8；
(3)设x=1+2+22+…+263 ①．
等式两边同时乘以2，得2x=2+22+23+…+264 ②，
②-①，得x=264-1．
答：国王输给阿基米德的米粒数为264-1．
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