Question

【题目】已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：

①线段PB= ，PC= ；

②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）

Answer 1

【答案】（1）①，2；②；（2）证明见试题解析；（3）或．

【解析】试题分析：（1）①在等腰直角三角形ACB中，先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，从而有：CD=AD=DB，然后根据AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可证明，在Rt△PCQ中，，则可得出结论；

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可证明，因为在Rt△PCQ中，，则可得出结论；

（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．

试题解析：（1）如图①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=，∴AB=AC=，∵PA=，∴PB=，作CD⊥AB于D，则AD=CD=，∴PD=AD﹣PA=，在RT△PCD中，PC==2，故答案为：，2；

②如图1．∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2，∴AP2+BPspan>2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：，∴，∵△CPQ为等腰直角三角形，∴，∴；

（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：，∴，∵△CPQ为等腰直角三角形，∴，∴；

（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①当点P位于点P1处时．∵，∴．∴．在Rt△CP1D中，由勾股定理得：=DC，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．

②当点P位于点P2处时，∵，∴．在Rt△CP2D中，由勾股定理得：==DC，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．

综上所述，的比值为或．