Question

如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S_△AFG=S_△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50度．其中正确的有（　　）

• A、①②③④
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

分析：灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析．

解答：解：①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°，
再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA=

1

2

∠BAC+

1

2

∠ACD=

1

2

×180°=90°，
再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，∴S_△AFG=S_△CFG；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180度．
又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°×

2

9

=40°，∠ECH=180°×

7

9

=140度．
∵CG平分∠ECH，∴∠FCG=

1

2

∠ECH=70°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的．
故选A．

点评：此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念．