题目内容
【题目】如图,抛物线经过点
,
,对称轴为直线
,与
轴的另一个交点为点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点从点
出发,沿
向点
运动,速度为1个单位长度/秒,同时点
从点
出发,沿
向点
运动,速度为2个单位长度/秒,当点
、
有一点到达终点时,运动停止,连接
,设运动时间为
秒,当
为何值时,
的面积
最大,并求出
的最大值;
(3)点在
轴上,点
在抛物线上,是否存在点
、
,使得以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形,若存在,直接写出所有符合条件的点
坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)当
时,
最大值为
;(3)存在满足条件的点
有4个,分别是
,
,
,
.
【解析】
(1)利用待定系数法即可求得a、b、c的值,即可求得抛物线解析式.
(2)利用对称轴和B点坐标,求得A点坐标(-2,0),所以是等腰直角三角形,过点
作
轴于点
.设点N的运动时间为t,用含t的代数式分别表示AN、AM,
;
,代入可得关于t的二次函数关系式,利用顶点式,求得最值即可.
(3)分情况讨论:利用平行线四边形性质,三角形相似即可得出.
(1)解:依题意得
,解得:
,∴抛物线的解析式为:
.
(2)∵对称轴为直线,
.
∴,则
,
当点运动
秒时,
,则
,
过点作
轴于点
.
∵,∴
是等腰直角三角形,
∴.
又∵,∴
是等腰直角三角形,
,
当点运动
秒时,
,
∴,
∴,
当时,
最大值为
.
(3)存在满足条件的点有4个,分别是
,
,
,
.

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